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代数学: 「集合」と「集合の要素間に成り立つ演算」が成す構造についての学問

 

記号

  集合から集合への写像

  集合の元から集合の元への写像

 

集合の族:集合の集合のこと。「集合の集合」と書くと、パラドクスが生じるようなので、こういう表現をする。

 

ベキ集合:部分集合全体の成す集合。

Xのベキ集合をと表記する

 

直積集合: 「2つの集合それぞれから1ずつ選んだ要素のペア」をすべて集めた集合

 {a, b}×{X, Y} = {(a,X), (a,Y), (b,X), (b,Y)}

 

単射全射全単射:クラスの女子が、好きな男子にチョコレートをプレゼントする(ただし、女の子は1個ずつのチョコレートしかもっていない)という状況でたとえる。

    単射:2つ以上のチョコをもらう男子はいない(1個ももらえない男子がいてもよい(女子の方が人数が少ない場合))。

    全射:全員の男子がチョコをもらう(複数のチョコをもらう男子がいてもよい(女子の方が人数が多い場合))。

    全単射:すべての男子が1つのチョコをもらう(男女1対1の対応が取れる)。逆写像が存在するための必要十分条件

 

カーネル(核)写像によって0に写される要素の集まり(上の例だと、チョコレートをゴミ箱に捨ててしまった女子の集まり)

 

イメージ(像)写像によって写された先の要素の集まり(上の例だと、チョコレートをもらえた男子の集まり)

 

同値関係: 次の3つの性質を満たすとき、「同じ」とみなす

                    反射性:  (同じものは同じ)

                    対称性:  なら (左右対称)

                    推移性:  かつ なら (仲間の仲間は仲間)

 

同値類: ある集合の中で、「同じ」もの(同値関係が成り立つもの)だけを集めて作った部分集合

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剰余類:同値類の中で、特に「割ったあまり」を同値関係に用いたもの

 

商集合:同値類全体の集合

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代表系:同値類系の同値類(部分集合)を、その代表におきかえた集合

同じ野菜種子 京むらさき大根 20ml府県に所属している人を「同じ」とみなす場合、各アサヒペン 丸筆ラウンド#20RD-20府県ごとに代表者を決めて、その代表者を集めた集合のこと

 

イデアル:環の特別な部分集合

例:整数に対する3の倍数(3の倍数同士の和・差はやっぱり3の倍数。環の任意の元を掛けてると3の倍数になる)

 

位相空間:集合に対して「開集合の集まり」を定めたもの

集合に対しては位相を定める

 

密着位相最大33倍!あんこ こしあん 小豆 山清 黒ごまあん6号 245gと自分自身のみを含む位相。最も弱い位相。自明な位相

 

密着位相:すべての部分集合を開集合とする位相。最も強い位相。離散位相

 

ハウスドルフ空間:ことなる開集合のあいだにちゃんと隙間がある空間。たいていの位相空間はハウスドル空間。

 

ユークリッド変換:図形の平行移動・回転・反転だけを許す変換。形を変えない変換。

 

アフィン変換:図形の形を変える変換だけど、直線は直線のまま。平行な線分の長さの比を保つ。

 

ホモトピーかたちに穴があるかどうかを、ロープを放り投げてひっかかるかどうかで調べる理論。

 

ホモロジー:かたちに穴があるかどうかを、かたちの縁(輪郭)に注目して調べる理論。または不変量。(縁に縁なし

 

単体(simplex):2次元の場合は三角形。3次元の場合は四面体。縁と内部を含む。

 

単体複体:単体を交差などなく素直に並べてできたもの。

 

群・アーベル群・環・可換環・整域・体:次の図による分類

 

モノイド:「群」から、「逆元の存在」の条件をのぞいたもの

例:プログラム言語でのListとか

 

加群:上の表のアーベル群のこと。加法について可換な群。可換群ともいう。

 

群の準同形写像:掛け算をしてから写したものと、写してから掛け算したものが同じになる写像全単射のときは同形写像

 

 

圏論

 

モノ単射のこと。「なら」が成り立つならは単射。このように、集合の元を見ることなく、射だけを見ることで、単射であると言える。

下図のようにmが単射でない場合、であってもとは言えない。

 

エピ全射のこと。「なら」が成り立つならは全射。このように、集合の元を見ることなく、射だけを見ることで、全射であると言える。

下図のようにeが全射でない場合、であってもとは言えない。

 

同形射:モノかつエピ(つまり全単射)な射

 

ファイバー積:下図に対して、次のような集合

   



引き戻し:下の可換図式のと同型な集合

 

普遍性:よくよく考えてみるとあたりまえの性質

 

局所的に小さな圏:一般的な圏

 

始対象:圏Cにおいて、すべての対象Xに対して、ちょうど1つずつの射I→Xが存在するような対象I  (始対象の双対は終対象

 

:圏Cにおける、対象XからYへの射の集まり

 

直積:下図左の関係をもつX,Yに対するP。Aに対して唯一のが決まる。右図は、直積Pは属性X,Yの最小限の情報だけを持つ。という解釈。

 

直和:直積の双対。余積ともいう。下図の関係をもつA,Bに対するS。Sに対して唯一のsが決まる。



Hom関手:射の集まり(Hom)を集合の圏に写す関手。

例:Hom(A, -) と表記されるHom関手は、AからXへの射の集まりを、集合の圏Setの対象(Hom(A, X))に写す。XからYへの射 f を Hom(A, X) → Hom(A, Y) へ写す。共変関手。

例:Hom(-, B) と表記されるHom関手は、XからBへの射の集まりを、集合の圏Setの対象(Hom(X, B))に写す。XからYへの射 h を Hom(Y, B) → Hom(X, B) へ写す。反変関手。

 

忘却関手:群とかだったときにもっていた構造を忘れさせて、たんなる集合の圏に写す関手(忘却関手の双対は自由関手

 

自然変換:関手から関手への射。下図のαがFからGへの自然変換。

自然変換αは、射の族 であって、圏Aの各射について、下図が可換になるもの。



表現:「別の表現」と読み替えるといい

 

カリー化:複数の引数をもつ関数を、引数が1つだけの関数の組み合わせに置き換えること。

 

このブログでカバーされている「勉強に役立ちそうなエントリ」の一覧です。

★をつけたものは、書くときに頑張ったような気がするので、見て損は無いと思う。というもの。

■ 理工系の大学学部生くらいを対象とした用語の説明
★ベクトルの内積とは - 大人になってからの再学習
★固有ベクトル・固有値 - 大人になってからの再学習
★log(1+x)のテイラー展開・マクローリン展開 - 大人になってからの再学習
★写像:単射、全射、全単射 - 大人になってからの再学習
★フーリエ変換 - 大人になってからの再学習
★フーリエ級数展開の式を理解する - 大人になってからの再学習
★フーリエ級数展開の式を理解する(2) - 大人になってからの再学習
★プログラミングで理解する反射律・対称律・推移律・反対称律 - 大人になってからの再学習
★群・環・体 - 大人になってからの再学習
★分散共分散行列 - 大人になってからの再学習
★4次元の立方体の理解 - 大人になってからの再学習
★写像と重積分とヤコビアン - 大人になってからの再学習
★「畳み込み(畳み込み積分):convolution」のできるだけ簡単な説明 - 大人になってからの再学習
★アフィン変換とは - 大人になってからの再学習
★共役勾配法 - 大人になってからの再学習
★ラプラス変換とは - 大人になってからの再学習
★エピポーラ幾何 - 大人になってからの再学習
行列の分解(Matrix Decomposition) - 大人になってからの再学習
重心座標系(Barycentric coordinate system) - 大人になってからの再学習
シグモイド関数 - 大人になってからの再学習
正規分布とシグマ - 大人になってからの再学習
∀と∃ - 大人になってからの再学習
微分の記法 - 大人になってからの再学習
微分積分・線形代数の計算ドリル - 大人になってからの再学習
数学的冒険 CHAOS (カオス) - 大人になってからの再学習
差分法による数値微分の公式 - 大人になってからの再学習
全域木 - 大人になってからの再学習
ローレンツ方程式 - 大人になってからの再学習
平面充填 - 大人になってからの再学習
主成分分析 - 大人になってからの再学習
曲率半径 - 大人になってからの再学習
円錐曲線 - 大人になってからの再学習
マルコフ過程、マルコフ連鎖 - 大人になってからの再学習
ガウス積分とガウス分布 - 大人になってからの再学習
ライフゲーム - 大人になってからの再学習
ド・モアブルの公式とオイラーの公式 - 大人になってからの再学習
ネイピア数 - 大人になってからの再学習
グラフのエラーバー - 大人になってからの再学習
変分法 - 大人になってからの再学習
極座標とラプラシアン - 大人になってからの再学習
ベクトルの微分 - 大人になってからの再学習
2次形式・二次形式 - 大人になってからの再学習
ガウス写像(Gauss Map) - 大人になってからの再学習
線織面と可展面 - 大人になってからの再学習
等角写像 - 大人になってからの再学習
「公開鍵暗号」RSA暗号 - 大人になってからの再学習
数理論理学に出てくる用語のまとめ - 大人になってからの再学習
数学で用いられる基本的な記号 - 大人になってからの再学習
無限大の基本的な考え方 - 大人になってからの再学習
焼きなまし法 - 大人になってからの再学習
CGレンダリング - 大人になってからの再学習
漬物 お取り寄せ 鹿児島 桜島大根うす切り・黒酢黒糖味 180g×2セット 食品 詰め合わせ ギフト 内祝い 父の日 母の日 お中元 敬老の日 お祝い お中元 お歳暮 お茶請け ごはんのお供 藤崎商事株式会社 かごしまや
弱形式と強形式 - 大人になってからの再学習
動的計画法 - 大人になってからの再学習
一般逆行列・ムーア・ペンローズ逆行列 - 大人になってからの再学習
B-Spline 近似 - 大人になってからの再学習
ディラックのデルタ関数δ(x) - 大人になってからの再学習
ラプラシアン行列 - 大人になってからの再学習
ラプラス方程式(2) - 大人になってからの再学習
ラプラス方程式 - 大人になってからの再学習
コリオリの力 - 大人になってからの再学習
ラグランジュの運動方程式 - 大人になってからの再学習
クラス定義によるテンソルの理解 - 大人になってからの再学習
QR分解 - 大人になってからの再学習
エルミート行列 - 大人になってからの再学習
LU分解 - 大人になってからの再学習
微分と積分の公式 - 大人になってからの再学習
曲率 - 大人になってからの再学習
ランダウの記号 - 大人になってからの再学習
サイクロイド - 大人になってからの再学習
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検索結果の「再現率」と「適合率」 - 大人になってからの再学習
ハミルトン路 Hamiltonian path - 大人になってからの再学習
マクスウェルの方程式 - 大人になってからの再学習
ハウスドルフ距離 (Hausdorff distance) - 大人になってからの再学習
カイ二乗検定 - 大人になってからの再学習
フレネ・セレの公式 - 大人になってからの再学習
ノイズ(雑音) - 大人になってからの再学習
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反復法による多変数の最適化問題(制約なし)の簡易まとめ - 大人になってからの再学習
ベクトル解析の公式 - 大人になってからの再学習
正規分布 - 大人になってからの再学習
グラフ理論の用語 - 大人になってからの再学習
最小二乗法 Least Squares Optimization について - 大人になってからの再学習
曲線・曲面の連続性 - 大人になってからの再学習
PとNPとNP完全とNP困難 - 大人になってからの再学習
ボイヤー・ムーア法 - 大人になってからの再学習
曲面の第1基本形式 - 大人になってからの再学習
ガウス関数の手抜き理解 - 大人になってからの再学習
t検定 - 大人になってからの再学習
統計的検定の考え方 - 大人になってからの再学習

■ 理工系の学部高学年生と大学院生くらいが対象となる用語
K-means法によるクラスタリング - 大人になってからの再学習
多様体学習の話 - 大人になってからの再学習
多次元尺度構成法 - 大人になってからの再学習
剛性理論(rigidity theory) - 大人になってからの再学習
劣モジュラ関数 - 大人になってからの再学習
グラフカット (Graph Cut) - 大人になってからの再学習
ガボール・フィルタ(Gabor Filter) - 大人になってからの再学習
トポロジーとホモロジー群 - 大人になってからの再学習
アインシュタインの縮約表記 - 大人になってからの再学習
機械学習(教師有学習と教師無学習) - 大人になってからの再学習
パーリンノイズ(Perlin noise) - 大人になってからの再学習
グラフカット(画像処理) - 大人になってからの再学習
レーベンバーグ・マーカート法(Levenberg-Marquardt Method) - 大人になってからの再学習
双曲幾何学のタイリング - 大人になってからの再学習
放射基底関数(Radial basis function, RBF) - 大人になってからの再学習
Centroidal Voronoi tessellation (重心ボロノイ分割) - 大人になってからの再学習
サポートベクターマシン - 大人になってからの再学習
αエラーとβエラー - 大人になってからの再学習
ササガワ 催事用リボン 赤耳 48mm
コンパクト性、開被覆 - 大人になってからの再学習
レイリー商(Rayleigh 商) - 大人になってからの再学習
移流方程式(Advection Equation) - 大人になってからの再学習
形式文法による文章生成 - 大人になってからの再学習


■ 読み物・その他
★なぜWikipediaの説明はわかりにくいのか(数学とか) - 大人になってからの再学習
★人工知能の考え方が人間の理解を超えたとき - 大人になってからの再学習
★「イラレの円は本当は円じゃない」というけど誤差はどれくらいなのか - 大人になってからの再学習
人工知能の研究ってなんだろう - 大人になってからの再学習
大学は必要か? 間違いなく必要 - 大人になってからの再学習
ジグソーパズル - 大人になってからの再学習
論文自動生成プログラムSCIgen - 大人になってからの再学習
論文自動生成プログラムSCIgen(2) - 大人になってからの再学習
Googleでの数式検索が3D対応していた - 大人になってからの再学習
New York Times の NUMBERPLAY - 大人になってからの再学習
ハングルの読み方 - 大人になってからの再学習
★2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
数式掛け時計「Math Clock」 - 大人になってからの再学習
デスピサロの出る確率 - 大人になってからの再学習
★「おねえさんの問題」のその後 - 大人になってからの再学習
★著作権 - 大人になってからの再学習
★Googleの猫認識 (Deep Learning) - 大人になってからの再学習
マイナスかけるマイナスはなぜプラスなのか - 大人になってからの再学習
塵劫記(じんこうき)の布盗人算(きぬぬすびとざん) - 大人になってからの再学習
2012年ブログのまとめ - 大人になってからの再学習
海外旅行・出張で知っておくといいこと - 大人になってからの再学習
★数え上げの話 - 大人になってからの再学習
組み合わせ爆発のはなし - 大人になってからの再学習
日本語能力試験 JLPT - 大人になってからの再学習
★70億を超えた世界の人口 - 大人になってからの再学習
★なぜ数学を勉強するのか - 大人になってからの再学習
Mathematicaの中身 - 大人になってからの再学習
ミレニアム懸賞問題 - 大人になってからの再学習
★メキシコの漁師の話と逸失利益 - 大人になってからの再学習
キュリー夫人 - 大人になってからの再学習
★将棋ソフトと機械学習 - 大人になってからの再学習
学術出版の変革 - 大人になってからの再学習
★Googleの面接試験? 男の子と女の子の人口比率 - 大人になってからの再学習
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17パターンの繰り返し紋様 (Wallpaper group) - 大人になってからの再学習
★ハートの方程式 - 大人になってからの再学習
★ケンタッキーフライドチキンのチキン重量は正規分布? - 大人になってからの再学習
★2,235,197,406,895,366,368,301,559,999分の1の確率で起きたトランプの奇跡? - 大人になってからの再学習
論文での疑似コードの書き方 - 大人になってからの再学習
ロボット研究 - 大人になってからの再学習
低価格3Dプリンタ - 大人になってからの再学習
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保険のまとめ - 大人になってからの再学習
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インターネット上にある勉強に役立つ資料の効率的な探し方 - 大人になってからの再学習
★クラウド時代の人海戦術 Amazon Mechanical Turk - 大人になってからの再学習
★進化し続ける Google 翻訳 - 大人になってからの再学習
★ゲーミフィケーション:ゲームで問題解決 - 大人になってからの再学習
研究者の戦闘力 - 大人になってからの再学習
マサチューセッツ工科大学のハックとブロッコリー - 大人になってからの再学習
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放射線被ばくに関する正しい知識 - 大人になってからの再学習
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無限のサル - 大人になってからの再学習
数学学習の道しるべ - 大人になってからの再学習
英語:NHKラジオ番組のダウンロード - 大人になってからの再学習
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数学:Wolfram Alpha - 大人になってからの再学習
数学: Walfram MathWorld - 大人になってからの再学習
化学の学習:周期表 - 大人になってからの再学習

■ プログラミング
ApacheログからのReferer集計 - 大人になってからの再学習
JavaScriptでカウントダウン(標準時) - 大人になってからの再学習
既存のEclipseプロジェクトの文字コードを変更する - 大人になってからの再学習
32bit DLL を 64bit OS上のEclipseから使用する - 大人になってからの再学習
javax.vecmath.Vector2dクラスの挙動 - 大人になってからの再学習
★SVGでのアフィン変換の活用 - 大人になってからの再学習
★パスカルの三角形:ExcelでVBAプログラミング - 大人になってからの再学習
★ExcelでVBAプログラミング(エクセルマクロ) - 大人になってからの再学習
Webページのアクセスログの解析 - 大人になってからの再学習
Blenderのスクリプト - 大人になってからの再学習
数値計算ライブラリ - 大人になってからの再学習
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Excelを使った正規分布する乱数の生成 - 大人になってからの再学習
Eclipseでバージョン管理 - 大人になってからの再学習

■ ソフトウェア
ハリックスほぐリラ ロールオンタイプ 20ml×10個セット
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Blenderで物理シミュレーション - 大人になってからの再学習
Blenderでレンダリング - 大人になってからの再学習
Gom Playerの便利なショートカット - 大人になってからの再学習
WindowsのPATHの設定を復元する - 大人になってからの再学習
黒板風の作図 - 大人になってからの再学習
Wordで数式を効率的に入力する - 大人になってからの再学習
Rで行列を扱う - 大人になってからの再学習
gnuplot で点の座標を直接指定する - 大人になってからの再学習
Wolfram Alpha で積分の問題を解く - 大人になってからの再学習
円周率計算プログラム - 大人になってからの再学習
Windows7 での telnet - 大人になってからの再学習
大量のPDFファイルから文字列の出現場所を高速検索する - 大人になってからの再学習
TortoiseSVN によるバージョン管理 - 大人になってからの再学習
Google マップナビの目的地設定 - 大人になってからの再学習
Illustratorで複数のパス、直線を一括で連結する - 大人になってからの再学習
TeXでのアルゴリズム(擬似コードの記述) algorithms パッケージ - 大人になってからの再学習

■ 英語学習
英文校正サービスGrammarlyを使ってみた - 大人になってからの再学習
Weblio英語例文検索 - 大人になってからの再学習
発音の確認 - 大人になってからの再学習
英語学習のための文法用語 - 大人になってからの再学習
Yahoo!学習でのTOEIC対策 - 大人になってからの再学習
英語(リスニング)の学習:NHKラジオ - 大人になってからの再学習
英語の学習:イディオムの使い方 Idiom-gle - 大人になってからの再学習
英語(リーディングの学習):Wikipedia の活用 - 大人になってからの再学習
英語(リーディング)の学習:ニュースサイトと「ずるっこ」 - 大人になってからの再学習
英語(リスニング)の学習:ポッドキャスト - 大人になってからの再学習
英語(スピーキング)の学習: レアジョブ - 大人になってからの再学習
英語(ライティング)の学習: Lang-8 - 大人になってからの再学習
英語(リスニング)の学習: TED - 大人になってからの再学習

■ 書籍紹介
オープンサイエンス革命 - 大人になってからの再学習
シンギュラリティは近い - 人類を超える知能について - 大人になってからの再学習
数学セミナー:P≠NP予想最前線 - 大人になってからの再学習
はじめてのAIプログラミング〜C言語で作る人工知能と人工無能〜 - 大人になってからの再学習
東大講義録 文明を解く(堺屋太一) - 大人になってからの再学習
統計のための行列代数 - 大人になってからの再学習
CG MAGIC - 大人になってからの再学習
人工知能と人工生命の基礎(2) - 大人になってからの再学習
人工知能と人工生命の基礎 - 大人になってからの再学習
人生生涯小僧のこころ - 大人になってからの再学習
重力とは何か - 大人になってからの再学習
当ブログ経由で売れている本 - 大人になってからの再学習
世界史(ウィリアム・H・マクニール著) - 大人になってからの再学習
入試数学 伝説の良問100 - 大人になってからの再学習
無限論の教室 - 大人になってからの再学習
漫画貧乏 - 大人になってからの再学習
史上最強の哲学入門 - 大人になってからの再学習
πのはなし - 大人になってからの再学習
球体のはなし - 大人になってからの再学習
円周率の日 - 大人になってからの再学習
入門 自然言語処理 - 大人になってからの再学習
帝王学―「貞観政要」の読み方 - 大人になってからの再学習
大人の科学(卓上ロボット掃除機) - 大人になってからの再学習
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次の式は微分幾何の分野で学習する曲面の第1基本形式。


「上のような式で示されるのが第1基本形式だと教わるけど、これが何を意味するのか、どうして大事なのか、さっぱりわからない。」


第1基本形式というのは、曲面の形を説明するための式。


人間は目で見て「曲面Aと曲面Bは同じっぽい」とか「曲面Aと曲面Cは全然違う」とか、すぐにわかる。

「じゃあ、目の見えない人に形を説明するにはどうすればいいの?」

と考えると、基本形式の存在意義がわかる。


第1基本形式によって、曲面の形を簡潔に記述できる。
第1基本形式をよく見ると、曲面がどんな形をしているのかがわかる。


「曲面は最初から数式で表現されているのだから、その数式そのものが形を説明しているでしょう。わざわざ別の表現に置き換える必要はなに?」


次の2つの楕円はまったく同じ形だけど、(位置や向きが違うので)式の形は全然違う。


なので、位置や向きに影響されないで、形の特徴だけを上手に説明するような式が必要。
それが第1基本形式。


「第1基本形式を見ると何がわかるの?」


第1基本形式に出てくる係数 E, F, G が第1基本量と呼ばれるもので、これを観察すると次のようなことがわかる。
E: この値で u 方向の伸び具合がわかる
F: この値で、u方向とv方向の成す角の様子がわかる。ゼロであれば、u方向とv方向は直交していることを意味する。
G: この値で v 方向の伸び具合がわかる

ということで、第1基本形式によって、曲面の形を示すことができる!便利!


でも、残念ながら、パッと見ただけで、だいぶ形が違う曲面が同じ第1基本形式を持つこともある。


第1基本量が同じ2つの曲面は、「局所等長的」と言って、一方の曲面を伸縮させないで他方の曲面に変形することができる。
「可展面と平面」の関係とか「懸垂面と螺旋面」の関係が有名。


これはつまり、人間が外から眺めれば違う曲面だと判断するような2つの曲面を、第1基本形式だけでは区別できないということを意味する。

この違いを区別するためにあるのが「第2基本形式」と第2基本計量。


詳しくは次のページがわかりやすい。
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ちなみに、曲面の局所的な曲がり具合を示すガウス曲率は第1基本量だけで導出することができて、この事実は「驚異の定理」と呼ばれている。


おすすめ

曲線と曲面の微分幾何


あと、放送大学の「空間とベクトル」の第8回、第9回もおススメ。
http://ocw.ouj.ac.jp/tv/1860704/



幾何学は微分しないと―微分幾何学入門